Tân Giám mục Đa Minh Đặng Văn Cầu sinh ngày 17 tháng 7 năm 1962 tại xã Đông Giang (nay là xã Hà Giang), huyện Đông Hưng, tỉnh Thái Bình, thuộc giáo xứ Lương Đống, giáo hạt Đông Hưng, giáo phận Thái Bình.[3] Ông là con thứ tư trong một gia đình Công giáo đạo đức có năm người con. Bà cố là Maria Hoàng Thị Truất (khoảng 1916-1970), hành nghề buôn bán, kiêm nhiệm việc chuyển thư liên lạc cho giám mục Thái Bình Đa Minh Maria Đinh Đức Trụ với giám mục giáo phận Lạng Sơn và Cao Bằng. Với lời gợi ý của giám mục Trụ, cậu bé Cầu được gửi cậu dưới sự quản lý của linh mục Gioankim Trần Trọng Uyên. Linh mục Uyên lúc này là Quản lý Tiểu chủng viện Mỹ Đức, kiêm chánh xứ linh mục Lương Đống. Trong suốt thời kỳ này, cậu bé Cầu đóng vai trò là giúp lễ cho linh mục Uyên.[4]

Sau khi thân mẫu qua đời, Mồng 6 Tết năm 1971, cậu bé Đặng Văn Cầu chính thức đến sinh sống cùng linh mục Trần Trọng Uyên tại Tiểu chủng viện Mỹ Đức. Từ năm 1972 đến năm 1977, chủng sinh Đa Minh mãn nhiệm tu học tại Tiểu Chủng viện Mỹ Đức Thái Bình. Chủng sinh Cầu, kể từ năm 1978 trợ giúp linh mục Giám đốc Chủng viện Giuse Maria Đinh Bỉnh, do linh mục Uyên chuyển nhiệm sở. Linh mục Giám đốc Đinh Bỉnh kế nhiệm chức Giám mục chính tòa Thái Bình, chuyển sang sinh sống tại Tòa giám mục. Chủng sinh Đặng Văn Cầu chuyển đến trợ giúp mục vụ tại Tòa giám mục Thái Bình, với tư cách thư ký, giúp việc Văn phòng Tòa giám mục. Sáng 14 tháng 3 năm 1989, sau khi được giáo quyền và chính quyền chuẩn thuận cho nhập học tại Đại chủng viện Hà Nội Hà Nội. Giám mục Đinh Bỉnh đột ngột qua đời cùng đã ảnh hưởng đến việc chuyển đến học tại Đại chủng viện gặp khó khăn.[4]

Từ năm 1989 đến năm 1995, chủng sinh Đặng Văn Cầu tu học tại Đại chủng viện Thánh Giuse Hà Nội, là chủng sinh khóa III của chủng viện này.[3] Trong thời kỳ tu học, chủng sinh Cầu luôn được xếp loại "ưu". Trong thời kỳ này, chủng sinh Cầu còn là Thư ký riêng cho Giám mục phụ tá Tổng giáo phận Hà Nội Phanxicô Xaviê Nguyễn Văn Sang.[4]